ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116371
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника. Боря – что можно на два прямоугольных, а Вася – что на два тупоугольных.
Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?


Решение

Первый способ. Наш четырехугольник не может быть прямоугольником, так как тогда прав только один человек, Боря.

Значит, этот четырехугольник имеет тупой угол (действительно, если каждый угол четырехугольника не превосходит 90°, то сумма углов не превосходит 360° но сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°). Поэтому при одном из разрезаний получается тупоугольный треугольный – то есть, если правы два человека, то Вася заведомо прав.

Остается еще привести примеры, в которых неправ только Алёша (подойдет, например, трапеция с диагональю, перпендикулярной основаниям) и только Боря (подойдет, например, ромб).

Второй способ. Можно решить задачу и отталкиваясь от вопроса о том, как четырехугольник может разрезаться на два прямоугольных треугольника. Например, следующим образом.

Если Вася неправ, то правы Алёша и Боря. Тогда четырехугольник режется на два прямоугольных треугольника.

I. Если прямые углы обоих Бориных треугольников являются углами четырехугольника, то сумма оставшихся двух углов четырехугольника равна 180°. Значит, оба этих угла не могут быть оба острыми. Поэтому при разрезании по другой диагонали не может получиться два остроугольных треугольника – противоречие.

II. Если же прямой угол какого-то из Бориных треугольников примыкает к диагонали, то этот угол является частью тупого угла четырехугольника. Значит, при разрезании по другой диагонали получится тупоугольный треугольник – снова противоречие.

Комментарий. Имеются и другие решения. Например, можно отталкиваться, наоборот, от разрезания на два остроугольных треугольника.

Ответ

Про Васю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2011
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .