ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116400
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из N прямоугольных плиток (возможно, неодинаковых) составлен прямоугольник с неравными сторонами. Докажите, что можно разрезать каждую плитку на две части так, чтобы из N частей можно было сложить квадрат, а из оставшихся N частей – прямоугольник.


Решение

Пусть размеры прямоугольника a×b,  a < b  и сторона b горизонтальна. Сожмём прямоугольник равномерно по горизонтали так, чтобы стороны стали равны. Получим разбитый на прямоугольники квадрат. Каждая его часть получена сжатием соответствующей плитки по горизонтали в b/a раз. Значит, она имеет меньшую ширину, но ту же высоту, и такую часть можно отрезать от плитки вертикальным разрезом. Оставшая часть плитки получается из неё сжатием по горизонтали в b/b–a  раз. Соответственно, из них можно сложить прямоугольник, получающийся из исходного сжатием в b/b–a  раз.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .