Задача 116433

Темы:    [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  f(1) + f(2) = 10  и    при любых а и b. Найдите f(2²⁰¹¹).

Решение

  Из условия задачи следует, что   f(2a) = f(a + a) = 4f(a).   В частности,  f(2) = 4f(1),  поэтому  5f(1) = 10,  то есть  f(1) = 2.
  Последовательность  f(1), f(2), f(2²), ...  является геометрической прогрессией со знаменателем 4. Число f(2²⁰¹¹) как 2012-й член этой прогрессии равно  2·4²⁰¹¹ = 2⁴⁰²³.

Ответ

2⁴⁰²³.

Замечания

Условиям задачи удовлетворяет, например, функция  f(x) = x².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.2.1