Задача 116439
|
|
 |
Условие
Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:
x³ = 2y² – z,
y³ = 2z² – x,
z³ = 2x² – y.
Решение 1
Сложив все уравнения системы, получим x(x – 1)² + y(y – 1)² + z(z – 1)² = 0. Отсюда x(x – 1)² = y(y – 1)² = z(z – 1)² = 0, то есть значение каждого из неизвестных может быть равно 1 или 0 (в частности, все решения целые). Теперь из системы видно, что x, y и z – одной чётности. Значит, решений не больше двух: (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Подстановкой проверяем, что оба подходят.
Решение 2
Перемножив неравенства получим x²y²z² ≥ x²y²z². Следовательно, во всех исходных неравенствах должно выполняться равенство, то есть x³ = z, y³ = x, z³ = y. Отсюда z27 = z, значит, z = 0 или 1.
Ответ
(0, 0, 0), (1, 1, 1).
