Задача 116440

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.

Решение

  Прежде всего отметим, что точка K лежит между точками A' и B', так как треугольник A'B'C' – остроугольный. Действительно, нетрудно проверить, что, например, угол A'B'C' равен  90° – ½ ∠A.

  Опустим перпендикуляр AL на B'C'. Прямоугольные треугольники ALB' и C'KA' подобны по острому углу. Поэтому
  Аналогично     Перемножая эти равенства, получим     откуда следует подобие треугольников AB'K и BA'K (углы AB'K и BA'K равны как смежные к углам равнобедренного треугольника A'CB'). Значит, углы AKB' и BKA' равны, что эквивалентно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.4.2