ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116450
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Делится ли число  2110 – 1  на 2200?


Решение

  Первый способ.
    2110 – 1 = (215 – 1)(215 + 1) = (21 – 1)(214 + 213 + 212 + 21 + 1)(21 + 1)(214 – 213 + 212 – 21 + 1) =
= 20·22·(214 + 21³ + 21² + 21 + 1)(214 – 21³ + 21² – 21 + 1).
  Заметим, что сумма  214 + 21³ + 21² + 21 + 1  делится на 5, так как она оканчивается цифрой 5. Следовательно, полученное произведение делится на  22·20·5 = 2200.

  Второй способ.  2200 = 8·25·11.  Достаточно доказать, что  2110 – 1  делится на 11, 8 и 25.
     2110 – 1 ≡ (–1)10 – 1 = 0 (mod 11).
     2110 – 1 ≡ (–3)10 – 1 = 95 – 1 ≡ 15 – 1 = 0 (mod 8).
     2110 – 1 ≡ (–4)10 – 1 = 220 – 1 = 1024² – 1 ≡ (–1)² – 1 = 0 (mod 25).


Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .