ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116452
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?


Решение

  Расположим вершины прямоугольного треугольника АВС в точках  А(18, 0),  В(0, 24),  C(0, 0)  (его стороны в 6 раз больше сторон египетского треугольника). Точка пересечения его высот совпадает с вершиной С. Центр описанной окружности – середина АВ – имеет координаты  (9, 12).  Радиус r вписанной окружности равен  ½ (a + b + c) = 6  (см. задачу 56656), а её центр имеет координаты  (r, r).  Координаты точки пересечения медиан являются средним арифметическим координат вершин, то есть равны  (6, 8).


Ответ

Существует.

Замечания

Есть и принципиально другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .