Задача 116453

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Известно, что выражения  4k + 5  и  9k + 4  при некоторых натуральных значениях k одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7k + 4  при тех же значениях k?

Решение

Пусть  4k + 5 = m²  и  9k + 4 = n²,  где m и n – некоторые натуральные числа. Тогда   9m² – 4n² = 29 = (3m – 2n)(3m + 2n).
Значит,  3m – 2n = 1,  3m + 2n = 29,  откуда  m = 5,  n = 7,  k = 5,  а  7k + 4 = 39.

Ответ

39.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.3.3