Задача 116488

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Условие

Прямая пересекает график функции  y = x²  в точках с абсциссами x₁ и x₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x₃. Докажите, что    .

Решение

  Первый способ. Уравнение данной прямой имеет вид  y = k(x – x₃).  Из условия следует, что x₁ и x₂ – корни уравнения  x² = k(x – x₃)  или
x² – kx + kx₃ = 0.  По теореме Виета   .

  Второй способ. Рассмотрим точки     (см. рис.).

  B₁C₁ : AB₁ = B₂C₂ : AB₂,  то есть   .
  Преобразуем:  .  Так как  x₁ ≠ x₂,  то  x₁x₂ = x₃(x₁ + x₂),  что равносильно доказываемому равенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.2