Задача 116532

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

Решение

  Пусть АВСD – данная трапеция  (AD || BC),  ЕF – её средняя линия, CG – высота (см. рис.). Докажем, что  ЕF = AG.

  Первый способ. Построим параллелограмм АВСH.

  Треугольник DCH равнобедренный, поэтому его высота CG совпадает с медианой. Значит, GF – средняя линия треугольника DCH и параллельна CH (и АВ). Кроме того,  EF || AG.  Следовательно, АEFG – параллелограмм.
  Замечание. На рисунке изображен случай  BC < AD,  но в рассуждениях мы этим ограничением не пользовались.

  Второй способ. Пусть  AD = а,  BC = b,  тогда   .   Значит,   .
  Теперь по теореме Пифагора  EF² = AG² = 25² – 15² = 10·40 = 20².

Ответ

20.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2.2