Задача 116536

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Сколько существует таких натуральных n, не превосходящих 2012, что сумма  1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ  оканчивается на 0?

Решение 1

  Разберём три случая.
  1) n нечётно. Тогда число  1ⁿ + 4ⁿ  нечётно и делится на  1 + 4 = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число БикЮ 2ⁿ + 3ⁿ.  Значит, данная сумма оканчивается на 0.
  2)  n = 4k + 2.  Тогда число  1ⁿ + 2ⁿ  нечётно и делится на  1² + 2² = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Число  3ⁿ + 4ⁿ  также нечётно и делится на  3² + 4² = 25.  Снова наша сумма оканчивается на 0.
  3)  n = 4k.  Последняя цифра чисел  2⁴ и 4⁴  равна 6. Значит, и последняя цифра чисел  2ⁿ = (2⁴)^k  и  4ⁿ = (4⁴)^k  равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3ⁿ равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.
  Среди 2012 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 503. А "хороших" чисел  2012 – 503 = 1509.

Решение 2

  Составим таблицу значений последних цифр у каждого слагаемого и у суммы для нескольких начальных значений n.

  При  n = 5  последние цифры у всех слагаемых такие же, как и при  n = 1,  значит общий период повторения последних цифр равен 4. При этом, для каждых четырёх последовательных значений n ровно в трёх случаях сумма оканчивается на 0.
  Так как  2012 : 4 = 503,  то искомое количество равно  503·3 = 1509.

Ответ

1509.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.3