Задача 116557

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Даны различные натуральные числа  a₁, a₂, ..., a₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  a_k + a_l,  где  1 ≤ k, l ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

Решение

Пусть среди наших 14 чисел есть a чётных и  b = 14 – a  нечётных. Нечётное число на доске может появиться лишь как сумма чётного и нечётного, то есть таких чисел будет ab (при этом каждое будет выписано по два раза). Но  4ab ≤ (a + b)² = 4·49.  Значит, на доске будет не более 49 различных нечётных чисел; а, чтобы выполнялось условие, их должно быть хотя бы 50.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.3