ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116565
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шмаров В.

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.


Решение

  Отметим на продолжении отрезка AD такую точку T, что  AT = DM.  Тогда BCMT – параллелограмм. Поскольку   DT = DA + AT = 3DM + DM = 4DM,  то по теореме Фалеса прямая CM пересекает отрезок BD в такой точке N, что  DB = 4DN.  Значит,  DN = NO,  то есть KN – медиана треугольника OKD.

  Точка S пересечения медиан равнобедренного треугольника OKD лежит на биссектрисе угла KOD.  ∠SСD = ∠KСD = ½∠KOD = ∠SOD.   Это и означает, что точки S, D, O, C лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .