Задача 116578
|
|
 |
Условие
Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.
Решение
Упорядочим гири по весу: a1 < a2 < ... < a11. Заметим, что веса соседних гирь отличаются не меньше, чем на 1, поэтому an ≥ am + (n – m) при m < n. По условию a1 + a2 + … + a6 > a7 + a8 + … + a11 ≥ (a2 + 5) + … + (a6 + 5), откуда a1 > 25. Значит, a11 ≥ a1 + 10 > 35.
Замечания
4 балла
