ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116612
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Перебор случаев ]
[ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вася написал верное утверждение:
  "В этой фразе 1/3 всех цифр – цифры 3, а 1/2 всех цифр – цифры 1".
А Коля написал фразу:
  "В этой фразе 1/... всех цифр – цифры *, доли цифр * и * одинаковы и равны 1/..., а доля всех остальных цифр составляет 1/...".
Вставьте вместо звёздочек три разные цифры, а вместо многоточий – три разных числа так, чтобы получилось верное утверждение.


Решение

  Если какое-то из заменённых многоточием чисел хотя бы трёхзначное, то всего в этой фразе не менее 100 цифр, что невозможно (тогда одно из чисел состоит минимум из 30 знаков, но тогда всего цифр не менее 1030 и т. д. – ясно, что так быть не может). Поэтому все числа или однозначные, или двузначные, а цифр всего от 9 до 12.
  Цифр "1" не менее 4, их доля не менее  4/12 = ⅓,  поэтому знаменатель первой дроби однозначный, то есть цифр меньше 12.
  Все знаменатели – делители количества цифр, большие единицы. Поэтому цифр не может быть ни 11 (у числа 11 нет отличных от единицы однозначных делителей), ни 9 (четыре слагаемых вида ⅓ и 1/9 в сумме не дадут 1).
  Значит, всего цифр 10, а доля цифр "1" равна ½. Остальные дроби могут быть равны ⅕ и 1/10. Сумма долей должна быть равна 1:  ½ + ⅕ + ⅕ + 1/10  .
В знаменателях по разу встретились цифры 0, 2 и 5, любые две можно упомянуть явно, тогда их доля будет ⅕, а на долю единственной оставшейся цифры придётся 1/10.


Ответ

"В этой фразе 1/2 всех цифр – цифры 1, доли цифр 2 и 5 одинаковы и равны 1/5, а доля всех остальных цифр составляет 1/10"
(или "...доли цифр 0 и 2 одинаковы..." или "...доли цифр 0 и 5 одинаковы...").

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2012
Класс
Класс 7
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .