Задача 116620

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть ещё два, потом – ещё три, и, наконец, стереть ещё четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

Решение

Заметим, что 11 записанных чётных чисел составляют арифметическую прогрессию, поэтому их сумма делится на 11. Следовательно, для того, чтобы после первого стирания сумма оставшихся чисел делилась на 11, необходимо стереть число, кратное 11. Кроме того, после четырёхкратного стирания должно остаться одно число, которое опять-таки кратно 11. Но среди записанных чисел только одно число (44) кратно 11. Таким образом, выполнить указанные операции невозможно.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.2.3