Задача 116623

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

В турнире по волейболу n команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть Р – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, Q – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  P = Q.

Решение

Пусть n – общее число команд, m – число игр, x_k и y_k – количество побед и поражений k-й команды. Заметим, что  x_k + y_k = n – 1.  Поэтому     а   P – Q = (n – 1)((x₁ + ... + x_n) – (y₁ + ... + y_n)) = (n – 1)(m – m) = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.3.3