Задача 116626
|
|
 |
Условие
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)
Решение
Из условия следует, что на каждые два соседних узла – разного цвета. Рассмотрим какую-нибудь горизонтальную прямую m данной сетки. Если на ней чередуются узлы только двух цветов, то она и является искомой.
Пусть это не так, и на прямой m находятся узлы более двух цветов, тогда в каком-то месте три узла разных цветов идут подряд. Обозначим эти цвета слева направо через А, В и С (см. рис.).
Таким образом, на горизонтальных прямых n и k повторилась раскраска трёх точек прямой m. Рассуждая аналогично, получим, что такая раскраска будет неограниченно повторяться как вверх, так и вниз. Значит, нашлись три вертикальные прямые (p, q и r), на которых бесконечно чередуются узлы двух цветов.
Ответ
Верно.
