Задача 116629
|
|
 |
Условие
Решите уравнение в целых числах: n4 + 2n² + 2n² + 2n + 1 = m².
Решение
n4 + 2n³ +
2n² + 2n + 1 = (n4 + 2n³ + n²) + (n² + 2n + 1) = n²(n + 1)² + (n + 1)² = (n² + 1)(n + 1)². В правой части уравнения стоит квадрат, поэтому
(n² + 1)(n + 1)² – полный квадрат. Это возможно в двух случаях.
1) n² + 1 – полный квадрат. Тогда n = 0, m² = 1.
2) n + 1 = 0. Тогда n = –1, m = 0.
Ответ
n = 0, m = ± 1 или n = –1, m = 0.
