ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116629
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Решите уравнение в целых числах:  n4 + 2n² + 2n² + 2n + 1 = m². 


Решение

  n4 + 2n³ + 2n² + 2n + 1 = (n4 + 2n³ + n²) + (n² + 2n + 1) = n²(n + 1)² + (n + 1)² = (n² + 1)(n + 1)².   В правой части уравнения стоит квадрат, поэтому
(n² + 1)(n + 1)²  – полный квадрат. Это возможно в двух случаях.
  1)  n² + 1  – полный квадрат. Тогда  n = 0,  m² = 1.
  2)  n + 1 = 0.  Тогда  n = –1,  m = 0.


Ответ

n = 0,  m = ± 1  или  n = –1,  m = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.5.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .