ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116635
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  f(x) = g(x)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?


Решение

  Будем рядом с каждой парой чисел писать приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа этой пары. Пусть в некоторый момент у мальчиков записаны трёхчлены p(x) и q(x). Тогда они решали уравнение вида  ap(x) = bq(x),  где a, b – какие-то различные ненулевые числа. Значит, полученные числа – корни трёхчлена  ap(x) – bq(x).  Если один из мальчиков заменяет свои числа на эти корни, то рядом с ними будет записана линейная комбинация многочленов p(x) и q(x).
  Исходные два трёхчлена  p0(x) = (x – 1)(x – 2)  и  q0(x) = (x – 3)(x – 4).  Из сказанного выше следует, что на каждом шаге у каждого мальчика записан трёхчлен вида  r(x) = αp0(x) + βq0(x),  где  α + β = 1.
  Параболы  y = p0(x)  и  y = q0(x),  очевидно, симметричны относительно прямой  x = 2,5,  поэтому  p0(2,5) = q0(2,5) = 0,75.  Значит, и  r(2,5) = 0,75.
  Если на Петином листке написано число 5, значит,  r(5) = 0.  Теперь второй корень многочлена r(x) легко находится. Например, так. После замены
t = x – 2,5  мы получим приведённый многочлен со свободным членом 0,75 (это его значение в точке 0). Один из его корней равен  5 – 2,5 = 2,5,  по формуле Виета второй равен  0,75 : 2,5 = 0,3.  А второй корень многочлена r(x) равен  0,3 + 2,5 = 2,8.


Ответ

2,8.

Замечания

Описанную ситуацию можно получить даже за один ход, если, например, Петя запишет трёхчлен  x² – 3x + 2,  а Вася – трёхчлен  6x² – 42x + 72.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .