|
|
 |
Условие
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + a9x + b9. Известно, что последовательности a1, a2, ..., a9 и b1, b2, ..., b9 – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?
Решение
Обозначим Pi(x) = x² + aix + bi, P(x) = P1(x) + ... + P9(x). Заметим, что Pi(x) + P10–i(x) = 2P5(x). Значит, P(x) = 9P5(x), и условие равносильно тому, что P5(x) имеет хотя бы один корень.
Пусть x0 – какой-нибудь из его корней. Тогда Pi(x0) + P10–i(x0) = 2P5(x0), то есть либо Pi(x0) ≤ 0, либо P10–i(x0) ≤ 0. Из этого следует, что в каждой из пар (P1, P9), (P2, P8), (P3, P7), (P4, P6) хотя бы один из трёхчленов имеет корень. Значит, есть не меньше пяти трёхчленов, имеющих корни, то есть трёхчленов без корней – не более четырёх.
Пример, когда ровно пять трёхчленов имеют хотя бы по одному корню: x² – 4, x² – 3, x² – 2, ..., x² + 4.
Ответ
4 трёхчлена.
