ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116663
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?


Решение

Например, рассмотрим дроби:  3/2 = 1½,  7/3 = 2⅓,  13/4 = 3¼,  21/5 = 4⅕,  31/6 = 5⅙  и 1/56. Сумма их числителей, так же, как и сумма их знаменателей, равна 76. При этом, и целые части и дробные части этих чисел попарно различны.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

  Бесконечное число примеров можно построить из следующих соображений. Возьмем пять произвольных несократимых неправильных дробей с различными знаменателями и различными целыми частями. Пусть сумма их числителей на n больше суммы знаменателей. Теперь добавим к набору дробь 1/n+1: её целая часть равна нулю, а дробная часть меньше, чем у любой ранее выбранной дроби.
  Аналогичным образом можно подобрать любое количество дробей, обладающих указанными свойствами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-03-9
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .