|
|
 |
Условие
Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?
Решение
Например, рассмотрим дроби: 3/2 = 1½, 7/3 = 2⅓, 13/4 = 3¼, 21/5 = 4⅕, 31/6 = 5⅙ и 1/56. Сумма их числителей, так же, как и сумма их знаменателей, равна 76. При этом, и целые части и дробные части этих чисел попарно различны.
Ответ
Не обязательно.
Замечания
Бесконечное число примеров можно построить из следующих соображений. Возьмем пять произвольных несократимых неправильных дробей с различными знаменателями и различными целыми частями. Пусть сумма их числителей на n больше суммы знаменателей. Теперь добавим к набору дробь 1/n+1: её целая часть равна нулю, а дробная часть меньше, чем у любой ранее выбранной дроби.
Аналогичным образом можно подобрать любое количество дробей, обладающих указанными свойствами.
