Задача 116667

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Авторы: Мартынов П., Мартынова Н.

В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке M, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке T. Оказалось, что отрезки CM и AT разбили треугольник ABC на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.

Решение

  Так как сумма углов A и C треугольника ABC меньше, чем 180°, то  ∠TAC + ∠TCA < 90°,  поэтому угол ATC – тупой (см. рис.).

  Значит, в равнобедренном треугольнике ATC сторона AC является основанием. Тогда  ∠TAC = ∠TCA = α,  поэтому  ∠BAC = ∠BCA = 2α.  Угол ATM – внешний для треугольника ATC, значит,  ∠ATM = 2α.
   Треугольник ATM также является равнобедренным. Если T – его вершина, то  ∠TMA = ∠TAM = α,  тогда сумма углов этого треугольника равна 4α. Но 4α – сумма углов A и C исходного треугольника, то есть меньше 180°. Значит, TM – основание треугольника ATM, а сумма его углов равна 5α. Отсюда  α = 36°.
  Треугольник CMB также оказывается равнобедренным, так как  ∠MCB = ∠MBC = 36°.

Ответ

72°, 72° и 36°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер	10 (2012 год)
Дата	2012-03-9
класс
	1
Класс	7 класс
задача
Номер	7.5