|
|
 |
Условие
В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.
Решение 1
Рассмотрим два произвольных подчёркнутых числа A и B. Из условия следует, что они расположены в разных строках и в разных столбцах. Пусть на пересечении строки, в которой находится число A, и столбца, в котором находится число B, стоит число C, а на пересечении строки, в которой находится число B, и столбца, в котором находится число A, стоит число D (см. рис.).
Таким образом, любые два подчёркнутых числа равны. Рассмотрим теперь произвольное число таблицы, которое не подчёркнуто. Оно не меньше числа, подчёркнутого в его столбце, и не больше числа, подчёркнутого в его строке, следовательно, оно им равно. Итак, все числа между собой равны.
Решение 2
Пусть в первой строке подчёркнуто число a1, во второй – a2, ..., в десятой – a10. Сумма чисел каждой строки не превышает подчёркнутого в этой строке числа, умноженного на 10, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа в этой строке равны. Следовательно, сумма всех чисел таблицы S ≤ 10(a1 + ... + a10) , и равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждой строке все числа одинаковы.
Проведя аналогичное рассуждение о наименьших числах в столбцах и учитывая, что подчёркнуты те же самые числа, получим, что
S ≥ 10(a1 + ... + a10), причём равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом столбце все числа одинаковы.
Таким образом, S = 10(a1 + ... + a10), и в каждой строке, и в каждом столбце стоят одинаковые числа.
