|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа a1, a2, ..., an, что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an делится на 2n – 1.
Решение
Достаточно рассматривать только остатки при делении на 2n – 1, расположим их по кругу обычным образом. Так как равны квадраты остатков, симметричных относительно нуля, то для x² возможно максимум n различных остатков. Выберем любые два из них. Поскольку какое-то из двух расстояний между ними по циклу чётное, то можно подобрать сдвиг на a1, чтобы они стали симметричными. Тогда после второго возведения в квадрат останется не более n – 1 различных остатков. Действуя таким образом и дальше, после n-го возведения в квадрат оставим один остаток. Сдвинем его в нуль с помощью an.
Замечания
6 баллов
