|
|
|
Условие
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки,
лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем .
Решение
Спроектируем четыре отрезка, соединяющие точки, лежащие на боковых гранях, на нижнюю грань куба. При этом длины отрезков не увеличатся. Мы получили четырёхугольник, вписанный в единичный квадрат. Докажем, что его периметр не меньше . Аналогично оцениваются суммы длин ещё двух четвёрок отрезков.
Проекция отрезка отсекает от квадрата прямоугольный треугольник и служит его гипотенузой. Из неравенства 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 следует, что длина гипотенузы не меньше полусуммы катетов, умноженной на . Поэтому сумма длин четырёх этих проекций не меньше полупериметра грани, умноженного на
, то есть не меньше
.
Замечания
1. Можно также сослаться на известный факт: периметр четырёхугольника, вписанного в прямоугольник (по вершине на каждой стороне), не меньше удвоенной диагонали прямоугольника (см. задачу 108606).
2. 6 баллов.
