ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116741
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки K и L так, что  BK = KL = LC,  а на стороне АС отмечена точка М так,
что  АМ = ⅓ AC.  Найдите сумму углов AKM и ALM.


Решение 1

  Заметим, что треугольник MKC – также равносторонний, так как  CM = 2/3 CA = 2/3 CB = CK  и  ∠MCK = 60°  (рис. слева). Следовательно,  MK || AB,  поэтому  ∠АKМ = ∠KАВ.
  Медиана ML треугольника MKC является его высотой и, значит, параллельна высоте AD треугольника АВС; поэтому  ∠АLМ = ∠LАD.
D – середина KL, значит, треугольник KAL – равнобедренный; следовательно, его высота AD является и биссектрисой, то есть  ∠LАD = ∠KАD.
  Таким образом,  ∠АKМ + ∠АLМ = ∠KАВ + ∠KАD = ∠BАD = 30°.

                   


Решение 2

  Пусть точка N симметрична M относительно высоты AD (рис. справа). Тогда  ∠АKМ + ∠АLМ = ∠АLN + ∠АLМ = ∠NLM = ∠BLM – ∠BLN = 30°  (треугольник BLN равносторонний; а  MLBC,  как показано в решении 1).


Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 7
задача
Номер 7.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .