Задача 116741

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки K и L так, что  BK = KL = LC,  а на стороне АС отмечена точка М так,
что  АМ = ⅓ AC.  Найдите сумму углов AKM и ALM.

Решение 1

  Заметим, что треугольник MKC – также равносторонний, так как  CM = ²/₃ CA = ²/₃ CB = CK  и  ∠MCK = 60°  (рис. слева). Следовательно,  MK || AB,  поэтому  ∠АKМ = ∠KАВ.
  Медиана ML треугольника MKC является его высотой и, значит, параллельна высоте AD треугольника АВС; поэтому  ∠АLМ = ∠LАD.
D – середина KL, значит, треугольник KAL – равнобедренный; следовательно, его высота AD является и биссектрисой, то есть  ∠LАD = ∠KАD.
  Таким образом,  ∠АKМ + ∠АLМ = ∠KАВ + ∠KАD = ∠BАD = 30°.

                   

Решение 2

  Пусть точка N симметрична M относительно высоты AD (рис. справа). Тогда  ∠АKМ + ∠АLМ = ∠АLN + ∠АLМ = ∠NLM = ∠BLM – ∠BLN = 30°  (треугольник BLN равносторонний; а  ML ⊥ BC,  как показано в решении 1).

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	7
задача
Номер	7.4.2