Задача 116743

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны, и  AB = BC = BD.  Высота BK пересекает диагональ AC в точке M. Найдите ∠CDM.

Решение

  Из равенства сторон AB и BC и параллельности BC и AD следует, что AC – биссектриса угла BAD (см. рис.).

  Так как треугольник ABD – равнобедренный, то DM – биссектриса угла ADB. Пусть ∠BAD = ∠BDA = ∠DBC = 2α.

  Далее можно рассуждать по-разному:

  Первый способ. Из равнобедренного треугольника BCD получим, что  ∠CDB = 90° – α.  Тогда ∠CDM = ∠CDB + ∠MDB = 90°.

  Второй способ. Поскольку  ∠BDM = ∠BAM = ∠BCM = α,  то четырёхугольник BCDM – вписанный и  ∠CDM = 180° – ∠MBC = 90°.

  Третий способ. Аналогично началу решения покажем, что DC – биссектриса внешнего угла D. А биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	10 (2012 год)
Дата	2012-04-8
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	1