Задача 116791

Тема:    [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Условие

Внутри угла AOB, равного 120°, проведены лучи OC и OD так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла AOC, указав все возможные варианты.

Решение

Возможные расположения лучей показаны на рисунках.

                             

  1) Если луч OC является биссектрисой угла AOB (рис. слева), то  ∠AOC = 60°  (независимо от того, является ли луч OD биссектрисой угла AOC или угла BOC).
  2) Если луч OD является биссектрисой угла AOB, то  ∠AOC = 30°  (если OC – биссектриса угла AOD) или  ∠AOC = 90°  (если OC – биссектриса угла ∠BOD)
  3) Если луч OC – биссектриса угла AOD, а луч OD – биссектриса угла BOC, то  ∠AOC = 60°.
  4) Аналогично если луч OD – биссектриса угла ∠AOC, а луч OC – биссектриса угла BOD (рис. справа), то  ∠AOC = 80°.

Ответ

30°, 40°, 60°, 80° или 90°.

Замечания

Задача предлагалась также на Олимпиаде им. Эйлера (2010 г.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2010
класс
Класс	7
Задача
Номер	7.3