|
|
 |
Условие
Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Решение 1
Впишем в треугольник окружность. Отрезки, примыкающие к одной вершине, равны (как касательные, проведенные к данной окружности из данной точки). Поставим в каждую вершину длину соответствующего отрезка. Поскольку каждая сторона составлена из двух таких отрезков, условие выполнено.
Решение 2
В вершинах можно поставить числа ½ (a + b – c), ½ (b + c – a) и ½ (c + a – b) (они положительны в силу неравенства треугольника).
Ответ
Верно.
Замечания
1. Длины отрезков из решения 1 равны числам, указанным в решении 2. Это не случайно – соответствующая система уравнений имеет единственное решение.
2. Ср. с задачей 116816.
