ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116824
Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в 1/17 всех экскурсий.


Решение

Пусть число экскурсий равно n, и каждый школьник сохранил билеты со всех экскурсий, в которых участвовал. Назовём школьника беднягой, если он принял участие менее чем в n/17 экскурсиях. Надорвём все билеты бедняг. Допустим, что в каждой экскурсии хотя бы один из билетов надорван. Тогда надорвано не менее n билетов, вклад каждого школьника меньше n/17 билетов, значит, бедняг больше 17. Выберем из них ровно 17. У выбранных школьников всего меньше  17· n/17 = n  билетов, у каждого из остальных трёх – не более, чем по n билетов, поэтому всего билетов меньше 4n. С другой стороны, на каждую из n экскурсий продано не менее четырёх билетов. Противоречие.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .