Задача 116827

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.
На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

Решение

Отщепим от числа из условия "хвост" из последних 8 цифр. Оставшееся число оканчивается на 8 нулей, поэтому делится на 2⁸. А "хвост" имеет вид
abababab = ab·1010101,  где a и b – цифры. Ясно, что двойки в разложении "хвоста" на простые множители идут только из числа  ab . Наибольшая степень двойки, на которую оно может делиться, не более шестой (2⁷ уже трехзначно). Тогда и исходное число делится не более чем на нестую степень двойки. Это достигается для числа 6464646464.

Ответ

На 2⁶.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1