|
|
 |
Условие
Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.
Решение
Каждый наблюдатель насчитал не менее 29 кругов. Наблюдателя, у которого время прохождения круга растёт, назовём Плюсом, а другого – Минусом. Пусть для Плюса машина проходит круги с 1-го по 29-й за p – 14, p – 13, ..., p + 14 секунд, а у Минуса – за m + 14, m + 13, ..., m – 14 секунд. Суммарное время прохождения 29 кругов равно 29p и 29m соответственно.
Первые 15 "кругов Плюса" покрывают 14 "кругов Минуса": либо с 1-го по 14-й (если Плюс впервые встретился машине раньше Минуса), либо со 2-го по 15-й (если Минус встретился раньше). В любом случае
(p – 14) + (p – 13) + ... + p > (m + 13) + (m + 12) + ... + m.
С другой стороны, последние 15 "кругов Минуса" покрывают 14 "кругов Плюса": либо с 16-го по 29-й, либо с 15-го по 28-й, откуда
(m – 14) + (m – 13) + ... + m > (p + 13) + (p + 12) + ... + p.
Сложив эти неравенства и приведя подобные, получим p + m > 392, откуда 29p + 29m > 29·392. Значит, хотя бы одно из суммарных времен не меньше 29·196 = 5684. Это время больше полутора часов (5400 секунд).
Замечания
8-9 кл. – 8 баллов, 10-11 кл. – 6.
