Задача 116834

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Дана бесконечная последовательность чисел  a₁, a₂, a₃, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  a_k = a_k+T  при любом натуральном k?

Решение

Пусть a_n равно наибольшей степени 2, на которую делится n  (a₁ = 1,  a₂ = 2,  a₃ = 1,  a₄ = 4,  a₅ = 1,  a₆ = 2,  a₇ = 1,  a₈ = 8).  Эта последовательность, очевидно, не периодична (в ней бесконечно много разных членов), однако для каждого k можно взять  t = 2k.  Действительно, числа k, 3k, 5k, 7k, ...  делятся на одну и ту же степень двойки.

Ответ

Не обязательно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1