Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.

Царь ответил так:
— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нравится, но шесть треугольников ты тут не сможешь разместить.
— А если смогу?
— Тогда проси чего хочешь!
Иван задумался, не получить ли заодно и полцарства. Подумайте и вы: разместите как можно больше видов деревьев в вершинах равных треугольников. (Равенство треугольников означает равенство всех его сторон и углов, то есть точное совпадение при наложении; треугольники можно поворачивать и переворачивать. В одной яме может расти только одно дерево.)

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R. Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ,
а  ∠KXA = ∠NXB = 60°.  Найдите длину отрезка KN.

Решение

Рассмотрим точку K', симметричную точке K относительно диаметра АВ (см. рисунок). Она лежит на той же окружности и  ∠KXA = 60°.  Тогда сумма трёх углов с вершиной в точке Х (отмеченных на чертеже) равна 180°. Следовательно, точки K', X и N лежат на одной прямой.

Треугольник K'XK – равнобедренный с углом 120° при вершине. Следовательно, вписанный угол KK'N равен 30°, а центральный угол KON равен 60°. Таким образом,  KN = R.

Ответ

KN = R.

Источники и прецеденты использования