В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от 1 до 5 . В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах.

   Решение

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Решение

  Выберем на луче BC такие точки X и P', что  BX = BP,  BP' = BP + BQ. Тогда треугольник BPX – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний, и  PX = BP,  ∠PXP' = 120°.  Значит, треугольники PBQ и PXP' равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  PP' = PQ  и  ∠PP'B = ∠PQB.  Аналогично, выбрав на луче BA точку Q' так, что  BQ' = BP + BQ,  получаем, что  QQ' = QP  и  ∠QQ'B = ∠QPB  (см. рис.).

  Отложим теперь на продолжениях отрезков BP' и BQ' за точки P' и Q' отрезки  P'C' = Q'A' = PQ.  Тогда
BA' = BQ' + Q'A' = BP + BQ + PQ = BP' + P'C' = BC'.  Треугольники QQ'A' и PP'C' равнобедренные, поэтому
∠Q'A'Q + ∠P'C'P = ½ (∠QQ'B + ∠PP'B) = ½ (∠BPQ + ∠BQP) = 30╟.  Значит, угол между прямыми QA' и PC' равен
180° – (∠Q'A'Q + ∠P'C'P + ∠BA'C' + ∠BC'A') = 90°.  Но, если  BA' = BC' < BA,  то этот угол должен быть меньше 90°, а если  BA' > BA,  то больше. Значит,
A' = A,  C' = C,  и  ∠PQB = ∠PP'B = 2∠PCP' = 2∠PCQ.

Источники и прецеденты использования