ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116899
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка P внутри него, что сумма расстояний от P до вершин больше периметра четырёхугольника?


Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD  AD = BD = CD = xAB = BC = y < x/4,  а P – такая точка на диагонали BD, что  PD = y (см. рис.). Тогда
PB + PD = BD = xPA = PC > AD – PD = x – y,  следовательно,  PA + PB + PC + PD > 3x – 2y > 2x + 2y = AB + BC + CD + DA.


Ответ

Существует.

Замечания

Задача опубликована в книге "Заочные математические олимпиады" (зад. 5-10).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .