Задача 116899

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка P внутри него, что сумма расстояний от P до вершин больше периметра четырёхугольника?

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD  AD = BD = CD = x,  AB = BC = y < ^x/₄,  а P – такая точка на диагонали BD, что  PD = y (см. рис.). Тогда
PB + PD = BD = x,  PA = PC > AD – PD = x – y,  следовательно,  PA + PB + PC + PD > 3x – 2y > 2x + 2y = AB + BC + CD + DA.

Ответ

Существует.

Замечания

Задача опубликована в книге "Заочные математические олимпиады" (зад. 5-10).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5