Задача 116916
|
|
 |
Условие
Дан тетраэдр ABCD. Точка X выбрана вне тетраэдра так, что отрезок XD пересекает грань ABC во внутренней точке. Обозначим через A', B', C' проекции точки D на плоскости XBC, XCA, XAB соответственно. Докажите, что A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC.
Решение
Поскольку DA' ⊥ (XBC), то ∠DA'C = 90°, аналогично ∠DB'C = 90° (см. рис.). Значит, точки A' и B' лежат на сфере с диаметром DC, поэтому расстояние между ними не превосходит этого диаметра: A'B' < DC. Аналогично A'C' < DB и B'C' < DA. Складывая эти три неравенства, получаем требуемое.
