ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116926
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол А.


Решение

Продлив медиану АМ на ее длину, получим параллелограмм ABDC (см. рис.). В треугольнике АВD проведём медиану DE, тогда  АЕ = ½ АВ = AD.  Таким образом, треугольник АDЕ – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно, медиана DE треугольника АВD равна половине стороны АВ, к которой она проведена; значит, этот треугольник – прямоугольный. Тогда  ∠ВАС = ∠ВAD + ∠СAD = ∠ВAD + ∠ADB = 150°.


Ответ

150°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .