|
|
 |
Условие
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Решение
Пусть a1 и a2, b1 и
b2, c1 и c2 – соответственно пары корней трёхчленов P(x), Q(x) и R(x). Рассмотрим трёхчлен S(x) =
P(x) + Q(x) + R(x). Его значения в точках c1 и c2 совпадают со значениями в этих же точках трёхчлена P(x) + Q(x), так как R(c1) = R(c2) = 0. Значит, S(c1) = S(c2). Аналогично
S(a1) = S(a2) и S(b1) = S(b2). Квадратичная функция принимает равные значения в разных точках только тогда, когда эти точки симметричны относительно абсциссы вершины параболы – графика этой функции. Значит, пары точек a1 и a2, b1 и b2, c1 и c2 симметричны относительно одной и той же точки – абсциссы d вершины параболы y = S(x). Это и означает, что a1 + a2 = b1 + b2 = c1 + c2 = 2d.
Замечания
Условие положительности старших коэффициентов многочленов P(x), Q(x), R(x) существенно: иначе суммы P(x) + Q(x), P(x) + Q(x) + R(x) и т. п. могли оказаться линейными или постоянными функциями.
