Задача 116944
|
|
 |
Условие
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
Решение
Достаточно показать, что хотя бы одно из двух чисел da = (a, c) и db =
(b, c) больше 1. Действительно, если, например, da > 1, то a + c делится на da и a + c > da, значит, a + c – составное число.
Из условия следует, что c(a + b) = ab; значит, ab делится на c. Но тогда, если da = db = 1, то и c = 1, что противоречит условию.
Замечания
Отметим, что в условиях задачи число a + b также составное.
