ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116947
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?


Решение

  Пусть a, b, c – данные числа. По условию, числа  a + b – c,  b + c – a  и  c + a – b  делятся на 10. Значит, на 10 делится и сумма  s = a + b + c этих чисел. С другой стороны, из равенства  s = (a + b – c) + 2c  и условия следует, что последняя цифра суммы всех трёх чисел равна последней цифре числа 2c. Значит, число c оканчивается на 5 или на 0. Аналогично на 0 или на 5 оканчиваются числа a и b.
  Наконец, поскольку сумма s чётна, то и одно из чисел a, b, c также чётно. Итак, одно из этих чисел делится на 10, а два остальных – на 5. Тогда произведение делится на 250, а значит, может оканчиваться лишь на 250, 500, 750 или 000.
  Примеры троек чисел, удовлетворяющих условиям и дающих данные последние цифры:  10·10·1000;  5·5·10 = 250;  5·5·20 = 500;  5·5·30 = 750.


Ответ

000, 250, 500 или 750.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .