ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116948
Тема:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

P(x) и Q(x) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x) в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x) в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны.


Решение

  Пусть a1 и a2 – корни трёхчлена P(x), а b1 и b2 – корни трёхчлена Q(x).

  Первый способ.  P(x) = (x – a1)(x – a2),  Q(x) = (x – b1)(x – b2).  Поэтому  (b1a1)(b1a2) + (b2a1)(b2a2) = (a1b1)(a1b2) + (a2b1)(a2b2). Перенося все слагаемые в одну часть, получаем  (b1a1)(b1a2 + a1b2) + (b2a2)(b2a1 + a2b1) = 0,  то есть
(b1b2)² – (a1a2)² = (b1 + a2a1b2) (a1 + b1a2b2) = 0.
  Но  (b1b2)²  и  (a1a2)²  как раз и есть дискриминанты данных трёхчленов.

  Второй способ. Пусть  P(x) = x² + px + rQ(x) = x² + qx + s.  Тогда  
  Аналогично  Q(a1) + Q(a2) = p² – 2r + pq + 2s.
  По условию  p² – 2r + pq + 2s = q² – 2s + pq + 2r,  откуда  p² – 4r = q² – 4s.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .