Задача 116948

Тема:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

P(x) и Q(x) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x) в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x) в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны.

Решение

  Пусть a₁ и a₂ – корни трёхчлена P(x), а b₁ и b₂ – корни трёхчлена Q(x).

  Первый способ.  P(x) = (x – a₁)(x – a₂),  Q(x) = (x – b₁)(x – b₂).  Поэтому  (b₁ – a₁)(b₁ – a₂) + (b₂ – a₁)(b₂ – a₂) = (a₁ – b₁)(a₁ – b₂) + (a₂ – b₁)(a₂ – b₂). Перенося все слагаемые в одну часть, получаем  (b₁ – a₁)(b₁ – a₂ + a₁ – b₂) + (b₂ – a₂)(b₂ – a₁ + a₂ – b₁) = 0,  то есть
(b₁ – b₂)² – (a₁ – a₂)² = (b₁ + a₂ – a₁ – b₂) (a₁ + b₁ – a₂ – b₂) = 0.
  Но  (b₁ – b₂)²  и  (a₁ – a₂)²  как раз и есть дискриминанты данных трёхчленов.

  Второй способ. Пусть  P(x) = x² + px + r,  Q(x) = x² + qx + s.  Тогда  
  Аналогично  Q(a₁) + Q(a₂) = p² – 2r + pq + 2s.
  По условию  p² – 2r + pq + 2s = q² – 2s + pq + 2r,  откуда  p² – 4r = q² – 4s.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
	1
Вариант	3
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.2