ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116959
Темы:    [ Разрезания (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего шесть графств (см. рис.).

Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если на нём нечётное число графств. Сколько графств у вас получилось?


Решение

На рисунке приведён пример для девяти графств.

Замечания

  1. Для семи графств (или меньше) примера не существует.
  Все дороги можно поделить на два типа: одни дороги соединяют левый верхний угол графства с правым нижним, а другие – левый нижний с правым верхним. Если бы при прохождении замкнутого пути дороги разных типов всегда чередовались, их общее количество было бы чётным (как групп мальчиков и девочек в задаче 116958). На Большом острове, стало быть, будут две дороги одного типа подряд.

  Пусть, например, подряд идут дороги AB и BC одного типа (см. рисунок). Помимо графств, в которых они проведены, к вершине B примыкают ещё два, закрашенных серым цветом. Дороги в этих графствах по условию не проходят через точку B. Проведём их.
  Теперь на рисунке четыре дороги. Чтобы всего их было семь, нужно тремя отрезками соединить их в единую цепь. Для этого придётся соединить отрезком какие-то два конца дорог в "серых графствах", а это невозможно.

  2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2013
класс
Класс 6
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .