|
|
 |
Условие
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.
Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Решение
Напомним, чтоа) дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен квадрату разности его корней;
б) при умножении трёхчлена на константу $a$ дискриминант умножается на $a^2$.
Первый способ. Пусть $a$ – общий корень описанных трёхчленов. Тогда их можно представить в виде $(x - a)(x - b)$ и $(x - a)(x - c)$, а их сумма равна $(x - a)(2 x - b - c)$. Следовательно, $$(a - b)^2 + (a - c)^2 = ((a - b) + (a - c))^2 = (a - b)^2 + (a - c)^2 + 2(a - b)(a - c),$$ откуда $(a - b)(a - c) = 0$. Значит, $a = b$ или $a = c$, что означает равенство нулю дискриминанта первого или второго трёхчлена соответственно.
Второй способ. Из утверждений а) и б) следует, что дискриминант квадратного трёхчлена не меняется при сдвиге переменной (то есть при замене $x$ на $x + h$). Значит, можно считать, что общим корнем данных трёхчленов является $x_0 = 0.$ Тогда трёхчлены имеют вид $x^2 + px$, $x^2 + qx$, а их сумма равна $2 x^2 + (p + q)x$. По условию их дискриминанты связаны равенством $(p + q)^2 = p^2 + q^2$, откуда $2 pq = 0$, что и означает равенство нулю $p$ или $q$, а значит, и дискриминанта одного из трёхчленов.
