ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116989
Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Центр О окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если  ∠ВАО = ∠DAC,
AC = m,  BD = n
.


Решение

  Пусть диагонали АВСD пересекаются в точке Р. Докажем, что АС и BD перпендикулярны.

  Первый способ. Используем очевидный факт: если АР – высота треугольника АВС, О – центр его описанной окружности, то  ∠ОАВ = ∠РАС  (рис. слева).
  Применив этот факт к треугольнику АВD (рис. справа), получим, что из условия  ∠ВАО = ∠DAC  и единственности перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую BD, следует, что АРBD.

           

  Второй способ. Проведём диаметр АА', тогда из равенства  ∠ВАО = ∠DAC  следует, что  ∠ВАР = ∠DAА'  (см. рис. б). Кроме того,  ∠АВР = ∠AА'D  (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Так как вписанный угол ADA' опирается на диаметр, то  ∠ADA' = 90°,  значит,
ВАР + ∠АВР = ∠DAА’ + ∠AА’D = 90°.  Таким образом, угол АРВ между диагоналями четырехугольника – прямой.
  Следовательно,  SABCD = ½ AC·BD = mn/2.


Ответ

mn/2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .