Задача 116989

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Центр О окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если  ∠ВАО = ∠DAC,
AC = m,  BD = n.

Решение

  Пусть диагонали АВСD пересекаются в точке Р. Докажем, что АС и BD перпендикулярны.

  Первый способ. Используем очевидный факт: если АР – высота треугольника АВС, О – центр его описанной окружности, то  ∠ОАВ = ∠РАС  (рис. слева).
  Применив этот факт к треугольнику АВD (рис. справа), получим, что из условия  ∠ВАО = ∠DAC  и единственности перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую BD, следует, что АР ⊥ BD.

           

  Второй способ. Проведём диаметр АА', тогда из равенства  ∠ВАО = ∠DAC  следует, что  ∠ВАР = ∠DAА'  (см. рис. б). Кроме того,  ∠АВР = ∠AА'D  (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Так как вписанный угол ADA' опирается на диаметр, то  ∠ADA' = 90°,  значит,
∠ВАР + ∠АВР = ∠DAА’ + ∠AА’D = 90°.  Таким образом, угол АРВ между диагоналями четырехугольника – прямой.
  Следовательно,  S_ABCD = ½ AC·BD = ^mn/₂.

Ответ

^mn/₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.2.2