Задача 116998

Темы:    [ Цилиндр ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Точка А лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), В – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, С – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите АВ, если  АС = 12,  BC = 5.

Решение

  Пусть А' – ортогональная проекция точки А на нижнее основание цилиндра, а В' – произвольная точка окружности этого основания (см. рисунок), тогда  АB'² = А'A² + А'B'².

  Так как длина А'А не зависит от положения точки B', то АВ' принимает наибольшее значение, когда А'В' – диаметр нижнего основания. Таким образом, указанная в условии точка В диаметрально противоположна точке А'. Прямая А'C является ортогональной проекцией наклонной АС на плоскость этого основания. Так как угол А'СВ – прямой, то и угол АСВ – прямой (по теореме о трёх перпендикулярах). Следовательно,  АB² = АC² + BC² = 169.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.5.2