Задача 30375

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Условие

Докажите, что  n² + 1  не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Решение

  Случай, когда n делится на 3, очевиден.
  Если же n не делится на 3, то на 3 делится число  n² – 1 = (n – 1)(n + 1),  поскольку одно из чисел  n – 1,  n + 1  делится на 3. Следовательно, в этом случае
n² + 1 ≡ 2 (mod 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	018
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	006