Задача 30377

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

Подсказка

Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Решение

n³ – n = (n – 1)n(n + 1).  Из трёх последовательных чисел одно делится на 3.  n – 1  и  n + 1  – последовательные чётные числа. Поэтому одно из них не только чётно, но и делится на 4. Значит, всё произведение делится на  2·4·3 = 24.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	020