Задача 30390

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

Решение

5555 ≡ 4 (mod 7).  Заметим, что  4³ ≡ 1 (mod 7),  значит,  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² ≡ 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555⁵⁵⁵⁵,  а это число делится на  2222 + 5555 = 7777.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	033
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.081